中文名：等腰三角形三线合一定理

外文名：IsoscelestriAnglethreelinesonetheorem

别名：在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合

适用领域：数学几何

应用学科：数学

等级划分：初中几何

内容：等腰三角形三线合一

前提：三角形是等腰三角形或等边三角形

备注：等边三角形属于等腰三角形

逆命题是否成立：成立

简称：三线合一

等腰三角形ABC(AB=AC)

在△ABD和△ACD中：

BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）

AB=AC（等腰三角形的性质）

AD=AD（公共边）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC （全等三角形对应角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

∴AD⊥BC

同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。

得证

1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AD⊥BD,AD平分∠BAC

2.∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3.∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC

三线合一证明辅助线

② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线

（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(ASA)

∴AB=AC

（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：

∵AD是BC中线，

∴S△ABD=S△ACD，

作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

又∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∴AB=AC（等底等高）

（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：

∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC