中文名：量纲

外文名：dimension

别名：因次

适用范围：物理学

应用学科：物理学

表示：物理量Q的量纲记为dimQ

物理学中，不同的物理量有着不同的单位，然而这些单位之间都有相互的联系。实际上，恰当地规定一些基本的单位（称为基本单位），可以使任何其他的单位（称为导出单位）都表达为这些单位的乘积，将其统一以便于研究各个物理量之间的关系。如在国际单位制中，功的单位焦耳（

然而，仅仅用单位来表示会面临一些问题：

（1）在不同的单位制下，各个物理量用单位来表示也会不同，以至于起不到预期的“统一各单位”的效果。如英里每小时（mph）与米每秒（m/s）乍看之下无甚联系，然而它们却都是表示速度的单位。虽然说经过转换可以将各个基本单位也统一，然而这样终究不够直观，需记忆也不甚方便，而且选择哪一个单位作为统一单位似乎都不甚公平。

（2）把一个既有的单位表达为拆分了的基本单位的形式实际上没有任何意义，功的单位无论如何都不是“千克二次方米每二次方秒”，因为实际上这个单位根本不存在，它只是与“焦耳”恰好相等而已。况且，这样做也会导致一些拆分后相同但实质不同的单位被混淆，如力矩的单位牛米（

因此量纲被作为表达导出单位组成的专有方式引入物理学中。

按照国际标准，物理量Q的量纲记为dimQ，国际物理学界沿用的习惯记为。量纲是物理学中的一个重要概念。可以定性地表示出导出量与基本量之间的关系；可以有效地进行单位换算；可以检查物理公式的是否正确；可以推知某些物理规律。“在量制中，以基本量的幂的乘积表示该量制中一个量的表达式，这个表达式就是该量的量纲。”

物理量之间的有规律联系还通过描述自然规律的各种定律表示出来。因此当一个单位制的基本量确定后，其他的物理量就可以通过既定的关系或定律，定义为用基本量表示的导出量，并通过代数式表示为基本量的幂次乘积。

由于选取的基本量不相同，同一个物理量在不同的单位制里的量纲可以互不相同。这在电磁学中是常有的。例如高斯单位制中的基本量是长度、质量和时间，而电磁学的MKSA制（电磁单位制）中的基本量是长度、质量、时间和电流。

物理量之间的一定组合，使其量纲积内基本量的量纲指数均为零，称为无量纲积或无量纲物理量，有时也称为量纲为1的量。例如应变dl/l的量纲dim(dl/l)=LL^－1=1；雷诺数R_e=vlρ/μ，其中v、ρ、μ分别是流体的速率、密度和粘滞率；l是物体或容器的特征线度，显然有

dimR_e=LT^－1·L·ML^－3·M^－1LT=M⁰L⁰T⁰=1

无量纲量的量纲为1，所以它的数值与所选用的单位制无关，用纯数表示。

任一合理构成的物理方程中的各项，都具有相同的量纲。显然，量纲一致的方程的形式，不会因基本量的单位不同而改变。在量纲分析中把一组无量纲积称为完全系 。

在国际单位制（SI）中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Θ、N和J 。例如：

速度 v=ds/dt 量纲：LT^－1

加速度 a=dv/dt 量纲：LT^－2

力 F=ma 量纲：MLT^－2

压强 P=F/S 量纲：MLT^－2/L²= MT^－2L^－1

量纲是检查公式推导过程中是否准确的判据，虽然不能保证其正确，但可以找到错误。一个物理理论通常由以下几个部分组成：概念，通常是抽象的，不能直接感知；关于这些概念的数学表示（物理量）：假定一个或一组方程，表示物理量之间的关系。在这一部分中，量纲扮演着重要角色。

采用不同的量制，同一物理量会有不同的量纲。如表示电磁量的量制，历史上曾有CGSE和CGSM及SI等量制，对这几种量制之间，同一物理量的数值可以进行换算。为了便于文献和书刊中的测量值之间的比较，多数科学家均采用国际单位制，但在某些专门领域，还保留了采用传统因袭的量制来表示 。

物理问题所涉及的量可以按照其属性分为两类：一类物理量的大小与度量时所选用的单位有关，称为有量纲量，如常见的有长度、时间、质量、速度、加速度、力、动能、功等；另一类物理量的大小与度量时所选用的单位无关，则称为无量纲量，如角度、两个长度之比、两个时间之比、两个力之比、两个能量之比等。

对物理问题的认识，最简单的是比较物理量的大小，显然只有对具有同样属性的物理量才能比较它们的大小。进一步是了解物理问题中的因果关系。作为原因的诸多物理量之间，总会以一种有机的联系来反映作为结果的物理量。讨论这种联系首先要明白诸量的属性或量纲，特别是作为结果的物理量的量纲，必须与作为原因的诸多物理量的量纲之间，建立反映该问题物理本质的固有联系。

在认识物理问题的规律中离不开对物理量的度量。度量某一个物理量，需要以一定方式将该量与一个取作单位的同类量相比较。如在力学问题中常采用cm、g、s分别作为度量长度量、质量量和时间量的单位，并称为物理单位制。但用物理单位制讨论和研究物理问题时很不方便。最本质的办法是选用本问题中能够反映问题特征的物理量来当作单位。一般，在物理问题的因果关系中，特别是在作为原因的自变量中选择某几个具有独立量纲的自变量当作单位，组成单位系，用来度量该问题中所有的物理量。如在运动学问题中可选用一个特征长度和一个特征时间组成单位系；在动力学的问题中，则除了选用一个特征长度、一个特征时间外，还要选用一个特征质量或特征力，三者组成单位系 。

量纲是表征物理量的性质（类别），如时间、长度、质量等；单位是表征物理量大小或数量的标准，如s、m、Kg等。

量纲分析（dimensional analysis）是对物理现象或问题所涉及的物理量的属性进行分析，从而建立因果关系的方法。

量纲分析是自然科学中一种重要的研究方法，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律。通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可提供寻找物理现象某些规律的线索。

客观规律要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说，任何两个一定大小的同类量，不论测量的单位如何，它们的相对大小永远不变，即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则，量度将没有任何意义。根据这个原则，可以导出以下的重要结论：在确定的单位制中，所有物理量的量纲都具有基本量量纲的幂次积形式（证明从略）。

实际现象总是同时参有许多物理量。它们间通过理论与实验建立起一定的依存关系，构成某一客观规律的数学算式。显然，这种数量关系必须有具体内容，列成算式时要首先考虑运算的含义。物理中只有同类量或它们的同样组合才能进行加减。另外，在建立算式时要采用统一单位制的观点，否则将无法按名数的大小来进行比较。当然，单位总可以通过换算给予统一，因而不构成任何限制。其次，所建立反映客观实际规律的关系式，必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏。关系式的这一性质称为“完整性”。

表现数量关系的最一般形式是多项式。保证多项式的完整性有两种办法：一是要求出现在算式中的一切参量都是无量纲纯数，二是要求式中所有各项具有完全相同的量纲，也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次，即所谓量纲的齐次性。算式中各项都是有关名数的幂次积，它们可分为量数和量纲两部分。既然量纲齐次，等式两边的量纲因子就可以相消，只剩下纯粹由量数构成的关系方程，也就是无量纲化了。总之，量纲齐次是构成完整性的充分和必要条件。

应该指出，任何两个量纲齐次的算式，假如硬性相加成为新的多项式，它虽然仍具有完整性，但可能变为非量纲齐次。这是因为两个算式分别表示不同类量间的关系。任何算式应用于具体实例都是如此，所以无需看作是量纲齐次的破坏。

所谓量纲独立指其中任何一个量的量纲式不能由其余量的量纲式的幂次积所组成。例如MLT体系中长度、速度和能量三者是独立的，而长度、速度和加速度三者间则非独立的。三个基本量的体系一般也只具有不多于三个的量纲独立量 。

历史上最早把物理量的属性看作物理量量纲的是J.傅里叶。他把dimension一词的概念，从几何学中的长度、面积和体积的范畴，推广到物理学中的长度、时间、质量、力、能、热等物理量的范畴，这一词不再限于长、宽、高等几何空间的属性，而泛指物理现象中物理量的属性，称之为量纲。他说换了单位不仅某量的大小变了，与该量有关的量的大小也跟着变 。

在同一个时期，O.雷诺和瑞利应用量纲的概念屡屡取得成功。雷诺首先用于检验方程各项的齐次性。瑞利则用于克服求解问题中遇到的数学困难。后来，E.白金汉提出：每一个物理定律都可以用几个零量纲幂次的量（称之为Π）来表述。P.布里奇曼将白金汉的提法称之为Π定理。实际上，傅里叶早已指明这种提法的实质，只可惜在他那个年代并没有引起大家的重视 。

量纲分析又叫因次分析，是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。量纲分析就是在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系。

量纲分析的基础是量纲法则。而在深层次运用中，会运用到Π定理，以至于有时把量纲分析直接看作“运用Π定理进行无量纲化的过程”。

在物理问题中，与问题有关的物理量可分成基本量和导出量两类。基本量是指具有独立量纲的物理量，它的量纲不能表示为其他物理量的量纲的组合；导出量则是指其量纲可以表示为基本量量纲的组合的物理量。两个具有同样量纲的物理量的比值是个纯数 。

量纲分析的基本原理——Π定理：一般方程式通过对原来n个参量的无量纲化，一定可得到n-k个独立无量纲参数π₁，…，π_n-k的函数关系式（证明从略）。这就是所谓的π定理，Π定理是量纲分析的理论核心。

任何一个物理定律总可以表示为确定的函数关系。对于某一类物理问题，如果问题中有n个自变量a₁,a₂,…,a_n，因变量a则是这n个自变量的函数，即：

a=f(a₁,a₂,…,a_k,a_k+1,…,a_n)

在自变量中可找出具有独立量纲的基本量，如果基本量的个数是k，把它们排在自变量的最前面，则a₁,a₂,…,a_k是基本量，它们的量纲分别是A₁,A₂,…,A_k；其余n－k个自变量a_k+1,a_k+2,…,a_n是导出量 。

Π定理是由E.白金汉于1915年提出的一个定理，其内容表述为：

设影响某现象的物理量数为n个，这些物理量的基本量纲为m个，则该物理现象可用N=n-m个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。

量纲分析的重大作用在于通过 π定理减少了问题中参量的个数，这对实验安排具有难以估量的重要性。

量纲分析在物理和工程领域发挥了极其重要的作用；特别是对物理机理和数学表述不太清楚的问题，运用量纲分析可以进行模型试验，从而加深对问题的认识。因为量纲分析所遵循的思想、原则和方法具有普遍性和通用性 。

对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减。

量纲服从的规律称为量纲法则，它有广泛的应用，一般只指出常用的两条：

1. 只有量纲相同的物理量，才能彼此相加、相减和相等；

2. 指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1的。量纲法则是量纲分析的基础。若推出的公式不符合量纲法则，该式必然是错误的。

时间的长短（秒、分、时）、质量的大小（g、Kg）、速度的快慢（Km/h、m/s）等，都是量纲，它们反映特定物理量或物理现象的度量，在物理学或者计算上通常以物理量的单位来表示。

按此定义，量纲又是度量，是长短、大小、快慢、强弱等的度量。

位移（距离）、时间、光亮等，都是物理现象。当测量物理量的时候，它们成了受测量的“量”。凡能测量、计数、计算的东西都是量。在度量的时候，很自然地运用到度量单位，单位加上数，就成了具体的测量数据，如3小时、150公里、50Km/h等。单位是用来度量物体的，是给物体定量之用的。用单位来度量的概念，就是量纲。比如说，时间的度量单位有分、秒、时、日等。用这些单位来表示时间的数量（度量）。这些单位就是时间量纲的表示，是时间长短的表示。同样的，多少米每秒、多少公里每小时、多少英尺每分钟等，都是速度量纲的表示，是速度快慢的表示。

分、秒、时、日是时间度量（time dimension）的表示，是时间长短的表示。千米、米、厘、毫是位移度量（displacementdimension）的表示，是位移多寡长短的表示。千克、克、毫克是质量度量（massdimension）的表示，是质量大小的表示。千坎、坎、毫坎是亮度度量（illumiNOus intensitydimension）的表示，是光亮度强弱的表示。公里每小时、米每秒是速率度量的表示，是速率快慢的标志。

量纲是物理量的度量，是物理量的测量数据的表示。用来表示量纲的单位必须反映特定物理现象或物理量，如温度、位移、速度、质量等。仅代表特定数目的单位，称为“无量纲单位”。例如“打”代表12；“罗”代表12打或144。