-
垂直线 编辑
中文名：垂直线
外文名：perpendicularline
所属领域：几何学
特点：与另一直线夹角90°的直线
定义：在一条直线或平面上，另一条直线和已知直线或平面夹角为90度
说明
证明两条直线互相垂直的方法很多，现列出十种主要方法如下：
1．直接用定义。即证相交两直线所构成的角中有一个是直角，或通过计算，求出其中的一个角等于90°。
2．如果一三角形中，有两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。
3．一条直线垂直于平行线中的一条，则这条直线也垂直于平行线中的另一条直线。
4．利用等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。
5．利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三条边
6．利用菱形的性质，即菱形的两条对角线互相垂直平分。
7．利用垂径定理及其逆定理。例如，在圆O中，P是弦AB的中点，连结OP，则OP⊥AB。
8．利用圆周角定理的推论。即在圆中，直径所对的圆周角是直角，或半圆所对的圆周角等于90°。
9．利用定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
10．利用切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
除了上述十种主要方法外，还有一些其他方法。例如，利用线段垂直平分线性质的逆定理，即如果一点到线段两端点的距离相等，那么这一点必在这条线段的垂直平分线上。也可以利用三角函数的计算来证明两直线垂直。例如，当角a是锐角时，如果sina=1，那么a=90°(当然，由cosa=0，或CTga=0，同样可推得a=90°)。总之，证明两条直线互相垂直的方法很多，读者在运用时既要根据所给条件或图形的特征，灵活选择方法，同时辅以必要的分析与综合，一定能较简捷地证明两条直线互相垂直。
例题解析
例1 如图1，在△ABC的外侧以AB、AC为斜边分别作等腰直角三角形ABD、ACE。设BC的中点为O，连结DO、EO，求证DO⊥EO且DD=EO。
图1
分析: 利用等腰直角三角形的性质，取AB、AC的中点F、G，连结DF、FO、EG、GO。由三角形中位线性质，可得到
(请读者自己完成证明过程。)
在本题中，由于中点较多，所以首先从三角形中位线性质去考虑。同时，本题是直接证得∠DOE=90°。从而有DO⊥EO的结论。
例2 如图2，△ABC中，已知AB=AC，且BM⊥AC，CN⊥AB(M、N为垂足)，又O、P分别是BC、MN的中点。求证：OP⊥MN。
图2
分析一： 利用直角三角形斜边上中线的性质，容易得到
分析二： 从已知∠BNC=∠BMC=90°，易证B、C、M、N四点共圆，圆心即点O。这样，线段MN是该圆的一条弦。因为P为MN中点，由垂径定理逆定理，即得OP⊥OM。
本题告诉我们，在证两条直线互相垂直时，要认真审题，看清图形特征，从而选择适当的方法。需要时也可一题多证，以培养发散思维及证题能力。
说明
两直线垂直的充要条件：不与x轴垂直的两条直线的斜率互为负倒数。
例题解析
例1：设直线
故直线
另外，两条直线
例2：直线
解：
解得
另外与直线
例1也可这样解：
所以
