垂径定理 编辑

数学几何定理
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垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

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基本信息

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中文名：垂径定理

外文名：VERTicaltheorem

别名：垂定

提出者：欧几里得（Ευκλειδης）

提出时间：约前300年

适用领域：几何、解析几何、有圆的平面直角坐标系

应用学科：数学

定理定义

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数学证明

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图1 垂径定理图示图1 垂径定理图示

如图1 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

证明：连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）

∴∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

推导定理

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原本命题，其中CD垂直于直线AB原本命题，其中CD垂直于直线AB

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

几何语言：∵DC是直径，AE=EB

∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD=劣弧BD，弧AC=弧BC

推论二：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

几何语言：∵弧AD=弧BD

∴CD垂直平分AB，弧AC=弧BC

推论三：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

定理简史

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欧几里得（古希腊数学家 希腊文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。

定理意义

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垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

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