圆周角定理 编辑

数学名词
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圆周角定理指的是一条弧所对圆周角于它所对圆角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系

基本信息

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中文名:圆周角定理

外文名:ThecircumferentialAngletheorem

适用领域:欧氏几何

应用学科:数学

定理内容

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圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等。

定理证明

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已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC.

证明:

情况1

如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:

图1图1

∵OA、OC是半径

∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2:

如图2,,当圆心O在∠BAC的内部时:

图2图2

连接AO,并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3:

图3图3

如图3,当圆心O在∠BAC的外部时:连接AO,并延长AO交⊙O于D连接OA,OB

∵OA、OB、OC、是半径

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圆心角等于180度的情况呢?

看情况1的图,圆心角∠AOB=180度,圆周角是∠ACB,

显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠AOC)/2=90度

所以2∠ACB=∠AOB

圆心角大于180度的情况呢?

看情况3的图,圆心角是(360度-∠AOB),圆周角是∠ACB,

只要延长AO交园于点D,由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度

根据情况3同理可证:∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根据情况1和情况3同理可证:∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情况2可知:∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2(180度-∠ADB)=2∠ACB

定理推论

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1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。

2.半圆(直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

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