芝诺 （约前490-前425），英文ZeNO of Elea，出生地为意大利半岛南部的埃利亚。古希腊数学家、哲学家，以芝诺悖论著称。芝诺悖论是一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。由于量子的发现，这些芝诺悖论已经得到完善的解决。芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友。有关他生平的文字记载较少。

中文名：芝诺

外文名：Zeno

别名：之诺

国籍：希腊

民族：希腊

出生日期：公元前490年（庚戌年）

逝世日期：公元前 425年

职业：数学家，哲学家

主要成就：被亚里士多德誉为辩证法的发明人

出生地：意大利埃利亚

代表作品：芝诺悖论

师承：巴门尼德

嗣响：柏拉图、亚里士多德、柏罗丁

柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂．那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构，然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。

据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护，但是不像他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。

在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”

公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯(Simplici－us)为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证。现存的芝诺悖论至少有 8个，其中关于运动的4个悖论尤为著名。

芝诺像

芝诺（Zeno of Elea）生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。

据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。在柏拉图的巴门尼德篇中，当芝诺谈到自己的著作(论自然)时，这样说道：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将他窃去，以至我不能决断，是否应当让它问世。 ”芝诺不象他的老师那样企图从正面去证明是一不是多，是静不是动，他常常从反面即归谬法来为“存在论”辩护。公元五世纪的评论家普罗克洛斯说过，芝诺从“ 多”和运动的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。芝诺的著作早已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注解是了解芝诺悖论的主要途径，此外只有少量零散的文献可作参考。

直到19 世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名，…。”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。

有关芝诺悖论在古希腊数学发展中起到的作用，在科学史上众说纷纭。P· 汤纳利首先提出，不是巴门尼德而是毕达哥拉斯学派发现的不可公约量，对芝诺悖论的提出产生了深刻的影响。H·赫斯和H·斯科尔斯则认为芝诺是对古代数学的发展起决定影响的人物，他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段，想以此来克服因发现不可公约量而引起的矛盾，而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法，从而迫使其他数学家去寻找真正的原因所在。另有一些学者持有完全不同的观点，他们认为芝诺对那个时代的数学发展没有作出任何重大的贡献。不管争论的结果如何，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上消失，就像美国数学史家E·T·贝尔说的，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辨证的考察。在哲学上，芝诺被亚里士多德誉为辩证法的发明人，黑格尔在他的哲学史演录中指出：“芝诺主要是客观的辨证的考察了运动，并称芝诺为“辩证法的创始人”。

芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。” 但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。

直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。

英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…。”

19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。

然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述。由于对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚。比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，芝诺责难“多”也不是简单地把两只羊说成一只羊。在这些悖论后面有着更深层的内涵．亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的。

关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的．P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切．相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响。

基于同样的假设，H．赫斯(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难。芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础。另有一些学者持有完全不同的意见．B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法。

芝诺

追乌龟

阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。芝诺当然知道阿喀琉斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取得再小，整个时间轴仍是由无限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

飞矢不动

设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。因此，即使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。箭悖论的标准解决方案如下：箭在每个时刻都不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。

游行队伍

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

■■■■观众席A

▲▲▲▲队列B

▼▼▼▼队列C

B、C两个列队开始移动，相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

■■■■观众席A

▲▲▲▲队列B（向右移动）

▼▼▼▼队列C(向左移动)

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

芝诺

”芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。